環面曲線

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伯努利雙紐線的外形如∞

環面曲線（toric section）是平面和環面相交形成的曲線，正如圓錐曲線是圓錐面和平面相交而成的。其方程為：

$\left( x^{2} + y^{2} \right)^{2} + a x^{2} + b y^{2} + cx + dy + e = 0$

它們都是四次曲線。

[编辑] 伯努利雙紐線

伯努利雙紐線（Lemniscate of Bernoulli）的方程為

(x 2 + y 2) 2 = 2 a 2 (x 2 - y 2)

求雙紐線的弧長需要應用橢圓積分。雙紐線可視為雙曲線的反演變換，反演圓心在雙曲線焦點的中點。

卡西尼卵形線

取兩個定點 $Q 1, Q 2$ 為焦點。卡西尼卵形線（Cassini oval）是所有這樣的點P的軌跡： $P$ 和焦點的距離的積為常數（這類似橢圓的定義——點 $P$ 和焦點的距離的和為常數）。即 $d(P,Q_1) \times d(P,Q_2) = b^2$ 。

在直角坐標系，若焦點分別在 $(a,0)$ 和 $( - a,0)$ ，卵形線的方程可寫成：

((x - a) 2 + y 2)((x + a) 2 + y 2) = b 4

(x 2 + y 2) 2 - 2 a 2 (x 2 - y 2) + a 4 = b 4

(x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4 a 2 x 2 = b 4

r 4 - 2 a 2 r 2 cos2θ = b 4 - a 4

卵形線經過反演變換，依然是卵形線。

卵形線的形狀由 $b / a$ 的值決定。若 $b / a > 1$ ，軌跡是一個封閉的圈。若 $b / a < 1$ ，軌跡是兩個封閉的圈。若 $b / a = 1$ ，軌跡為伯努利雙紐線。

Hippopedes: a=1, b=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0

Hippopedes: b=1, a=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0

Hippopede曲線（或Hippopede of Proclus）的極坐標方程為：

r 2 = 4 b (a - b sin 2 θ)

直角坐標系：

$\left(x^2+y^2 \right)^2+4b(b-a)(x^2+y^2)=4b^2x^2$

當 $b = 2 a$ ，Hippopede曲線為伯努利雙紐線。