內射模

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3个分类: 交換代數 | 模論 | 来自中文维基百科

內射模（英语：injective module），在模論中，是具有與有理數 $\mathbb{Q}$ （視為 $\Z$ -模）相似性質的模。內射模是射影模的對偶概念，由Reinhold Baer於1940年引進。

[编辑] 定義

一個環 $R$ 上的左模 $Q$ 若滿足以下等價條件，則稱之為內射模：

若 $Q$ 是另一個左 $R$ -模 $M$ 的子模，則存在另一個子模 $R \subset M$ 使得 $M = R \oplus Q$ 。
若 $f: X \to Y$ 是左 $R$ -模的單射， $g: X \to Q$ 為同態，則存在同態 $h: Y \to Q$ 使得 $h \circ f = g$ 。圖示如下：

任何短正合序列 $0 \to Q \to M \to K \to 0$ 都分裂。
函子 $Hom R ( - , Q)$ 為正合函子。

右模的定義類此。抽象地說，內射模乃是模範疇中的內射對象。

[编辑] 例子

零模是內射模的平凡例子。
設 $R$ 為域，則任何 $R$ -模（即 $R$ -向量空間）都是內射模，此點可由基的性質證明。
設 $G$ 為緊群（例如有限群）， $k$ 為特徵為零的域。根據緊群的表示理論，可知任何表示的子表示都是其直和項﹔若翻譯為模的語言，即是：群代數 $k G$ 上的所有模都是內射模。
設 $A$ 為域 $k$ 上含單位元的有限維結合代數。則逆變函子 $Hom k ( - , k)$ 給出有限生成左 $A$ -模與有限生成右 $k$ -模的對偶性。因此，有限生成的左 $A$ -模在同構的意義下皆可寫作 $Hom k (P, k)$ ，其中 $P$ 是某個有限生成的射影右 $A$ -模。
在一般的環上也存在充足的（在內射分解的意義下）射影模，以下將述及相關理論。初步的例子包括： $\mathbb{Q}$ 對加法形成內射 $\Z$ -模。群 $\Z/n\Z$ （ $n > 1$ ）是內射 $\Z/n\Z$ -模，而非內射 $\Z$ -模。

[编辑] 性質

內射模的直積（包括無窮直積）仍是內射模，內射模的有限直和仍為內射模。一般而言，內射模的子模、商模或無窮直和並不一定是內射模。

Baer 在其論文中證明了一個有用的結果，通常稱作 Baer 判準：一個左 $R$ -模 $Q$ 是內射模若且唯若定義在任一理想 $I$ 上的態射 $I \to Q$ 都能延拓到整個 $R$ 上。

利用此判準，可證明主理想域 $R$ 上的模 $Q$ 是內射模若且唯若 $Q$ 可除，即：對任何 $r \neq 0 \in R.\; q \in Q$ ，存在 $q' \in Q$ 使得 $r q' = q$ ，由此可證 $\mathbb{Q}$ 是內射 $\Z$ -模，向量空間都是內射模。

最重要的內射模當屬 $\mathbb{Q}/\Z$ ：它是 $\Z$ -模範疇中的內射上生成元，換言之，這是內射模，而且任何 $\Z$ -模皆可嵌入某個 $(\mathbb{Q}/\Z)^a$ 中，其中 $a$ 是夠大的基數。由此可知任何 $\Z$ -模皆可嵌入某個內射 $\Z$ -模。此性質對任意環 $R$ 上的左模都成立，要點在於利用 $\mathbb{Q}/\Z$ 的特性構造左 $R$ -模範疇中的內射上生成元。