伯努利定律

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2个分类: 流体力学 | 方程

在流體力學中，伯努利定律描述就流體沿着一條穩定、非粘滯、不可壓縮的流線移動行為。

[编辑] 物理量及定律

[编辑] 原表達形式

$\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h + p = \mbox{const}.$

$v=\;$ 流動速度

$g=\;$ 地心加速度(地球)

$h=\;$ 流體處於的高度(從某參考點計)

$p=\;$ 流體所受的壓強

$\rho=\;$ 流體的密度

[编辑] 定理假設

非粘滯 - 流體無需抵抗與容器壁之間的粘滯力
不可壓縮 - 氣體因其可壓縮性多不依循此定律；不可壓縮性可維持密度不變
穩定 - 高速流動會導致紊流的出現

[编辑] 推論過程

考慮一符合上述假設的流體，如圖所示：

流體因受力的作功:

$F_{1} s_{1F_{2} s_{2}=p_{1} A_{1} v_{1}\Delta t-p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t.\;$ }-

流體損失的位能:

$m g h_1-m g h_2 = \rho g A_1 v_1 \Delta t h_1 -\rho g A_2 v_2 \Delta t h_2.\;$

流體所得的動能:

$\frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} \rho A_2 v_2 \Delta t v_2^2 - \frac{1}{2} \rho A_1 v_1 \Delta t v_1^2$

根據能量守恆定律，流體因受力的作功 + 流體損失的位能 = 流體所得的動能

$p_1 A-1 v_1 \Delta t - p_2 A_2 v_2 \Delta t + \rho g A_1 v_1 \Delta t h_1 - \rho g A_2 v_2 \Delta t h_2 = \frac{1}{2} \rho A_2 v_2 \Delta t v_2^2 - \frac{1}{2} \rho A_1 v_1 \Delta t v_1^2$

$\frac{ \rho A_1 v_1 \Delta t v_1^2}{2} + \rho g A_1 v_1 \Delta t h_1 + p_1 A_1 v_1 \Delta t = \frac{ \rho A_2 v_2 \Delta t v_2^2}{2} + \rho g A_2 v_2 \Delta t h_2 + p_2 A_2 v_2 \Delta t.$